Nafiil Kasim: soal dan pembahasan Ujian Nasional Matematika SMA IPA tahun 2010

Berikut ini adalah soal dan pembahasan Ujian Nasional Matematika SMA IPA tahun 2010, satu paket soal UN yang akan kita bahas dibagi dalam beberapa posting supaya lebih fokus dalam belajar, yaaa…

oh ya, dalam pembahasan ini terdapat juga beberapa rumus cepat menghadapi model soal-soal yang sering keluar di ujian nasional, namun harap selalu diingat prinsip dasar materinya sehingga tidak hanya semata-mata mengandalkan rumus praktis tanpa tau asal muasal rumus tersebut.
Ayoooo….kita coba!!!

Akar-akar persamaan kuadrat $x^2+(a-1)x+2=0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$ . Jika $\alpha=2\beta$ dan a> 0 maka nilai a=…
A. 2 B. 3
C. 4
D. 6
E. 8

Jawab:

ingat sifat akar-akar dalam persamaan kuadrat:

$\begin{align*}\;x_1.x_2 & = & \frac ca\\\alpha.\beta & = & \frac 21\\2\beta.\beta & = & 2\\\beta^2 & = & 1\\\beta & = & \pm 1\end{align*}$

ambil $\beta=1$

$\dpi{100} \bg_white \begin{align*}\;x_1+x_2 & = & -\frac ba\\\alpha+\beta & = & -\;\frac{(a-1)}{1}\\2\beta+\beta & = & -a+1\\3\beta & = & -a+1\\3.(-1) & = & -a+1\\a & = & 4\end{align*}$
Diketahui fungsi $\dpi{100} \bg_white f(x)=\frac{x+1}{x-3}\;,x\neq3$ dan $g(x)=x^2+x+1$ . Nilai komposisi fungsi $(g\circ{f})(2)=$
A. 2 B. 3
C. 4
D. 7
E. 8

Jawab

$\dpi{100} \bg_white (g\circ f)(x)=\left (\frac{x+1}{x-3} \right )^2+\left ( \frac{x+1}{x-3} \right )+1$ subtitusikan nilai x = 2

$\begin{align*}(g\circ f)(2) & = & \left ( \frac{2+1}{2-3} \right )^2+\left ( \frac{2+1}{2-3} \right )+1\\ & = & \left ( \frac{3}{-1} \right )^2+\left ( \frac{3}{-1} \right )+1\\ & = & 9-3+1\\ & = & 7\end{align*}$
Diketahui $\dpi{100} \bg_white f(x)=\frac{1-5x}{x+2}\;,x\neq-2$ dan $f^{-1}(x)$ adalah invers dari f(x). Maka nilai $f^{-1}(-3)=$
A. $\frac 43$ B. 2
C. $\frac 52$
D. 3
E. $\frac 72$

Jawab

ingat rumus cepat mencari invers dari $\dpi{100} \bg_white f(x)=\frac{{\color{Red} a}x+b}{cx+{\color{Red} d}}$ adalah $\dpi{100} \bg_white f^{-1}(x)=\frac{{\color{Red} -d}x+b}{cx{\color{Red} -a}}$

hati-hati bentuk soal belum seperti standar untuk rumus cepat, sehingga harus kita ubah dulu menjadi :

$\dpi{100} \bg_white \begin{align*}f(x) & = & \frac{1-5x}{x+2}\\f(x) & = & \frac{{\color{Red} -5}x+1}{x+{\color{Red} 2}}\\f^{-1}(x) & = & \frac{{\color{Red} -2}x+1}{x+{\color{Red} 5}}\\f^{-1}(-3) & = & \frac{-2(-3)+1}{(-3)+5}\\ & = & \frac 72\end{align*}$
Toko A, toko B dan toko C menjual sepeda. Ketiga toko tersebut selalu berbelanja di distributor sepeda yang sama. Toko A harus membayar Rp5.500.000; untuk pembelian 5 sepeda jenis I dan 4 sepeda jenis II. Toko B harus membayar Rp 3.000.000; untuk pembelian 3 sepeda jenis I dan 2 sepeda jenis II. Jika toko C membeli 6 sepeda jenis I dan 2 sepeda jenis II, maka toko C harus membayar sebesar….
A. Rp 3.500.000; B. Rp 4.000.000;
C. Rp 4.500.000;
D. Rp 5.000.000;
E. Rp 5.500.000;

Jawab

* misalkan x = sepeda jenis I

y = sepeda jenis II

* untuk mempermudah,nyatakan rupiah dalam ribuan rupiah, didapat persamaan:

$\begin{array}{rcl}A:\;5x+4y=5500 & [.1] & 5x+4y=5500\\B:\;3x+2y=3000 & [.2] & \underline{6x+4y=6000}\;(-)\\ & \leftrightarrow & \;-x\;\;\;\;\;=-500\\ & \leftrightarrow & \;\;\;\;\;x\;\;\;\;\;=500\end{array}$

* subtitusikan ke B

$\begin{array}{rcl}3x+2y & = & 3000\\3(500)+2y & = & 3000\\2y & = & 1500\\y & = & 750\end{array}$

* Subtitusikan ke C

$\begin{array}{rcl}C & = & 6x+2y\\ & = & 6(500)+2(750)\\ & = & 3000+1500\\ & = & 4500(dlm\;ribuan)\end{array}$

Sehingga C harus membayar Rp 4.500.000;
Grafik fungsi kuadrat menyinggung garis . Nilai b yang memenuhi adalah….
A. -4 B. -3
C. 0
D. 3
E. 4

Jawab

$\begin{array}{ccl}f(x) & = & y\\x^2+bx+4 & = & 3x+4\\x^2+bx-3x+4-4 & = & 0\\x^2+(b-3)x & = & 0\end{array}$

* garis y menyinggung grafik fungsi f(x) sehingga D = 0
1. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran $(x-4)^2+(y-5)^2=8$ yang sejajar dengan $y-7x+5=0$ adalah….
  A. $y-7x-13=0$ B. $y+7x+3=0$
  C. $-y-7x+3=0$
  D. $-y+7x+3=0$
  E. $y-7x+3=0$
  
  Jawab:
  
  * Persamaan umum lingkaran di pusat (a,b) adalah $\dpi{100} \bg_white (x-{\color{Red} a})^2+(y-{\color{Red} b})^2=r^2$
  
  * Persamaan lingkaran $(x-4)^2+(y-5)^2=8$ maka berpusat di (4,5) dengan $r=\sqrt 8$
  
  * Persamaan Garis dengan gradien m adalah $y=mx+c$
  
  $\begin{array}{rcl}y-7x+5 & = & 0\\y & = & 7x-5\;\;maka\;\;m=7\end{array}$
  
  $m_1=7$ karena sejajar, maka gradien sama $m_1=m_2=7$
  
  * Persamaan Garis Singgung Lingkaran berpusat di (a,b) jari-jari r dan gradien m adalah $\dpi{100} \bg_white {\color{Red} (y-b)=m(x-a)\pm r\sqrt{m^2+1}}$
  
  $\begin{array}{rcl}(y-b) & = & m(x-a)\pm r\sqrt{m^2+1}\\(y-5) & = & 7(x-4)\pm \sqrt{8}.\sqrt{7^2+1}\\y-5 & = & 7x-28\pm 20\\y-5=7x-28+20 & V & y-5=7x-28-20\\y-5-7x+28-20=0 & V & y-5-7x+28+20=0\\y-7x+3=0 & V & y-7x+43=0\end{array}$
2. Jika p dan q akar-akar persamaan $x^2-5x-1=0$ , maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2p+1 dan 2q+1 adalah…
  A. $x^2+10x+11=0$ B. $x^2+10x+11=0$
  C. $x^2+10x+11=0$
  D. $x^2+10x+11=0$
  E. $x^2+10x+11=0$
  
  Jawab:
  
  Cara singkat kita cari invers dari salah satu akar-akar baru (2p+1) yaitu $\frac{p-1}{2}$ tinggal kita subtitusikan ke persamaan lama:
  
  $\dpi{100} \bg_white \begin{align*}x^2-5x-1 & = & 0\\(\frac{p-1}{2})^2-5(\frac{p-1}{2})-1 & = & 0\\\frac{p^2-2p+1}{4}-\frac{5p-5}{2}-1 & = & 0\\\frac{p^2-2p+1-10p+10-4}{4} & = & 0\\p^2-12p+7 & = & 0\end{align*}$
  
  sehingga persamaan kuadrat baru adalah $x^2-12x+7=0$
3. Diketahui matriks-matriks $A=\left[\begin{array}{cc}-c & 2\\1 & 0\end{array}\right]$ , $B=\left[\begin{array}{cc}4 & a\\b+5 & -6\end{array}\right]$ , $C=\left[\begin{array}{cc}-1 & 3\\0 & 2\end{array}\right]$ dan $D=\left[\begin{array}{cc}4 & b\\-2 & 3\end{array}\right]$ . Jika 2A-B = CD, maka nilai dari a + b + c = …
  A. -6 B. -2
  C. 0
  D. 1
  E. 8
  
  Jawab:
  
  $\begin{array}{rcl}2A-B & = & CD\\{2\left(\begin{array}{cc}-c & 2\\1 & 0\end{array}\right)}-{\left(\begin{array}{cc}4 & a\\b+5 & -6\end{array}\right)} & = & {\left(\begin{array}{cc}-1 & 3\\0 & 2\end{array}\right)}.{\left(\begin{array}{cc}4 & b\\-2 & 3\end{array}\right)}\\{\left(\begin{array}{cc}-2c & 4\\2 & 0\end{array}\right)}-{\left(\begin{array}{cc}4 & a\\b+5 & -6\end{array}\right)} & = & {\left(\begin{array}{cc}{-4-6} & {-b+9}\\-4 & 6\end{array}\right)}\\{\left(\begin{array}{cc}{-2c-4} & {4-a}\\{-b-3} & 6\end{array}\right)} & = & {\left(\begin{array}{cc}-10 & {-b+9}\\-4 & 6\end{array}\right)}\end{array}$
  
  * perhatikan baris 1 kolom 1
  
  $\begin{array}{rcl}-2c-4 & = & -10\\2c & = & 10-4\\c & = & 3\end{array}$
  
  *perhatikan baris 2 kolom 1
  
  $\begin{array}{rcl}-b-3 & = & -4\\b & = & 1\end{array}$
  
  *perhatikan baris 1 kolom 2
  
  $\begin{array}{rcl}4-a & = & -b+9\\4-a & = & -1+9\\a & = & -4\end{array}$
  
  Sehingga
  
  $\begin{array}{rcl}a+b+c & = & -4+1+3\\ & = & 0\end{array}$
4. Nilai dari $\dpi{100} \bg_white \frac{^{27}log\;9+^{2}log\;3.^{\sqrt3}log\;4}{^{3}log\;2-^{3}log\;18}$ = ….
  A. $-\frac{14}{3}$ B. $-\frac{14}{6}$
  C. $-\frac{10}{6}$
  D. $\frac{14}{6}$
  E. $\frac{14}{3}$
  
  Jawab :
  
  $\dpi{100} \bg_white \begin{align*}\frac{^{27}log\;9+^{2}log\;3.^{\sqrt{3}}log\;4}{^{3}log\;2-^{3}log\;18} & = & \frac{^{3^3}log\;3^2+^{2}log\;3.^{3^{\frac 12}}log\;2^2}{^{3}log\;(\frac{2}{18})}\\ & = & \frac{{\frac 23}(^{3}log\;3)+{\frac{2}{\frac 12}}.^{2}log\;3.^{3}log\;2}{^{3}log\;(\frac 19)}\\ & = & \frac{\frac 23+4(^2log\;2)}{^3log\;3^{-2}}\\ & = & \frac{\frac 23 +4}{-2}\\ & = & \frac{\frac 23+\frac{12}{3}}{-2}\\ & = & \frac{14}{3}.{(-\frac 12)}\\ & = & {-\frac{14}{6}}\end{align*}$
5. Bentuk sederhana dari $\dpi{100} \bg_white \frac{(5a^3b^{-2})^4}{(5a^{-4}b^{-5})^{-2}}$ adalah….
  A. $5^6a^4b^{-18}$ B. $5^6a^4b^2$
  C. $5^2a^4b^2$
  D. $5^6ab^{-1}$
  E. $5^6a^9b^{-1}$
  
  Jawab:
6. Bentuk sederhana dari $\frac{6(3+\sqrt5)(3-\sqrt5)}{2+\sqrt6}$ = …
7. Suku banyak $2x^3+ax^2+bx+2$ dibagi $(x+1)$ sisanya 6 dan dibagi $(x-2)$ sisanya 24. Nilai 2a – b = …
8. Diketahui segitiga PQR dengan P(1, 5, 1) ; Q(3 , 4 , 1) dan R(2 , 2 , 1). Besar sudut PQR adalah….
9. Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A(2, -1, -1) ; B(-1 , 4 , -2) dan C (5 , 0 , -3). Proyeksi vektor $\overrightarrow{AB}$ pada $\overrightarrow{AC}$ adalah…
10. Perhatikan gambar grafik fungsi eksponen!
  
  Persamaan grafik fungsi invers pada gambar adalah….